كويز الرياضيات السنة الثالثة ثنوي — علوم تجريبية — الدوال العددية

لتكن الدالة f المعرفة بـ f(x) = (x^2 - 4)/(x - 2) من أجل x لا يساوي 2، و f(2) = k. لكي تكون f مستمرة عند x = 2، ما هي قيمة k؟

• 2
• 4
• 0
• غير معرفة

يجب أن تكون نهاية الدالة عند 2 تساوي f(2). نهاية (x^2 - 4)/(x - 2) لما x يؤول إلى 2 هي نهاية (x-2)(x+2)/(x-2) أي نهاية (x+2) وهي 4.

إذا كانت f دالة مستمرة على [1, 5] حيث f(1) = -2 و f(5) = 3، فهل يمكن الجزم بوجود c في المجال ]1, 5[ يحقق f(c) = 0؟

• لا يمكن الجزم بذلك
• نعم، حسب مبرهنة القيم المتوسطة
• يجب أن تكون f رتيبة
• لا توجد قيم c

بما أن الدالة مستمرة على المجال وتغير إشارتها (من السالب للموجب)، فإن مبرهنة القيم المتوسطة تضمن وجود حل للمعادلة f(c)=0.

لتكن f دالة مستمرة على [0, 4] وصورتها f([0, 4]) = [-1, 2]. إذا كانت f متناقصة تماماً، فما هي قيمة f(0)؟

• -1
• 2
• 0
• 1

بما أن الدالة متناقصة، فإن صورة المجال [a, b] هي [f(b), f(a)]. هنا [f(4), f(0)] = [-1, 2]، إذن f(0) = 2.

أي من الدوال التالية مستمرة على R؟

• f(x) = tan(x)
• f(x) = 1/(x^2+1)
• f(x) = sqrt(x)
• f(x) = 1/x

الدالة 1/(x^2+1) معرفة ومستمرة على R لأن مقامها لا ينعدم أبداً، بينما الدوال الأخرى لها نقاط عدم تعريف.

إذا كانت f و g دالتين مستمرتين على R، أي من الدوال التالية ليست بالضرورة مستمرة على R؟

• f + g
• f * g
• f / g
• 3 * f

خارج قسمة دالتين مستمرتين يكون مستمراً فقط حيث لا ينعدم المقام، لذا لا يمكن الجزم باستمراريتها على R كاملاً.

تكون الدالة f مستمرة على المجال [a, b] إذا وفقط إذا كانت:

• مستمرة على ]a, b[ فقط
• مستمرة على ]a, b[ ومستمرة على يمين a ويسار b
• قابلة للاشتقاق على [a, b]
• نهايتها عند a و b موجودة

هذا هو التعريف الدقيق للاستمرارية على مجال مغلق حسب المقرر.

إذا كانت f مستمرة على [a, b] و f(a) * f(b) أكبر تماماً من الصفر، فهل للمعادلة f(x) = 0 حل في ]a, b[؟

• نعم دائماً
• لا يمكن الحكم
• مستحيل
• يوجد حل وحيد

مبرهنة القيم المتوسطة تشترط اختلاف الإشارة (ضربهما أصغر من صفر) لضمان الحل، لكن لا تنفي وجوده إذا كانت الإشارة متماثلة.

ما هي صورة المجال ]-2, 2[ بالدالة f(x) = x^2 إذا كانت مستمرة؟

• [0, 4[
• ]-4, 4[
• [0, 4]
• ]-2, 2[

الدالة x^2 على ]-2, 2[ تنعدم عند 0 وتؤول قيمها إلى 4 عند الطرفين، وبما أنها مستمرة فالصورة هي [0, 4[.

إذا كانت f مستمرة ورتيبة تماماً على I، فإن الدالة f تقابل من I نحو:

• مجموعة الأعداد الحقيقية R
• المجال f(I)
• المجال المفتوح
• مجموعة محدودة

صورة المجال بدالة مستمرة ورتيبة هي دائماً مجال وتحدد بـ f(I).

مركب دالتين مستمرتين g o f على المجال I هو دالة مستمرة على I إذا كان:

• f(I) محتوى في مجال تعريف g
• g(I) محتوى في مجال تعريف f
• f و g متزايدتان
• f و g معرفتان على R

شرط استمرارية مركب دالتين هو أن تكون صورة المجال I بالدالة f محتواة في مجال تعريف الدالة الثانية g.